Бы под знаком кубического корня находилось аргумент же

Решение кубического уравнения по формулам Кардано.

бы под знаком кубического корня находилось аргумент же

Интегрирование корней (иррациональных функций). Вот если бы всё это добро находилось в числителе – было бы просто. Константу здесь я предпочел не выносить за знак интеграла (можно делать и так, ошибкой не будет) . например, когда корень является аргументом какой-либо функции. Например, бес- смысленно было бы дать букве т значение т = , так Два алгебраических выражения, соединённые знаком «равно» а • а • а = а3 ( кубических единиц). Возведение ные члены находились один под другим ; после этого сразу делают аргументом и корнями трёхчлена. Пример 1. Идеология систем Mathematica базируется на двух, казалось бы, взаимно . функция Simplify (упростить), аргументом которой является знак %, означающий .. Многие из нас прекрасно помнят формулы для корней квадратного формулы аналитического решения кубического уравнения общего вида.

Структура книги Книга содержит 17 уроков и составлена так, что эти уроки постепенно знакомят читателя с возможностями системы. Уже после прохождения урока 1 вы сможете начать осмысленно и плодотворно работать с системой. Этот урок является как бы ознакомительным курсом по работе с системой Maple 7. Он может быть полезен как для быстрого самостоятельного освоения системы не слишком требовательным пользователем, так и как основа вводного курса по системе в вузах и школах, где для основательного изучения Maple 7 не предусмотрено достаточного количества учебных часов.

Кроме того, этот урок знакомит читателя с основами интерфейса пользователя и правилами работы с панелями инструментов и форматирования выражений. По сравнению с учебным курсом по системе Maple 6 [37] этот урок существенно переработан и дополнен. В частности, подробно описана инсталляция системы Maple 7 и аппаратные требования для работы с. Последующие уроки расширяют заведенное знакомство и постепенно готовят читателя к серьезной самостоятельной работе практически без применения какой-либо иной документации, кроме встроенной в систему справочной базы данных.

Урок 2 посвящен знакомству с мощной справочной базой данных системы Maple 7 и информационной поддержкой этой системы в Интернете. Данные разделы намеренно вынесены в начало книги, поскольку успех освоения системы Maple 7 до профессионального уровня требует обучения работе со справочной базой данных. В уроке 3 описаны основные приемы работы с файлами документов, которые готовятся в Maple 7. Остальные уроки посвящены базовым математическим возможностям системы Maple 7 и основам практической работы в.

В уроке 5 описаны основные типы данных системы, а в уроке 6 — основные виды встроенных операторов и функций. Урок 7 посвящен основам программирования в среде Maple 7. Читатель должен понимать, что все описанные и в других главах команды системы Maple 7 являются одновременно и командами ее языка программирования. Именно это позволяет считать язык программирования Maple 7 языком программирования сверхвысокого уровня, проблемно ориентированным на математические расчеты.

Барсуков А. Н. Алгебра. — 1961

Урок 8 является одним из наиболее важных. Он посвящен решению типовых задач математического анализа, таких как вычисление сумм и произведений последовательностей, производных и интегралов, разложений функций в ряд и.

При этом особое внимание уделяется технике аналитических вычислений, где возможности системы Maple 7 вызывают особый интерес. Но и техника численных расчетов рассмотрена достаточно детально, в частности арифметика высокой точности. Работа с функциями и степенными многочленами полиномами описана в уроке 9.

Здесь описано много тонкостей работы с математическими выражениями и другими объектами системы, позволяющими выполнять множество математических преобразований и подстановок. Два больших урока — уроки 11 и 12 — посвящены графическим возможностям системы. При этом урок 11 описывает обычные графические средства, а в уроке 12 дается описание расширенных средств, позволяющих эффективно решать задачи визуализации решений математических проблем — вплоть до подготовки графиков с элементами анимации.

Учитывая огромную роль дифференциальных уравнений в решении ряда математических, физических и технических задач, работе с ними посвящен отдельный урок Наряду с решением одиночных дифференциальных уравнений первого и второго порядка рассматривается решение систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений как аналитическими, так и численными методами.

Большое внимание уделено графической визуализации решений и построению наглядных фазовых портретов решения. В уроке отражены новые возможности Maple 7 в решении дифференциальных уравнений. В уроке 14 рассмотрены важнейшие пакеты системы Maple 7 математической направленности.

Эти пакеты поставляются вместе с системой, и применение функций из них столь же важно, как и применение средств ядра системы. Описанные в уроке 14 пакеты рассмотрены достаточно полно. В отдельный урок 15 вынесены широко используемые на практике средства решения задач линейной алгебры.

Это операции с векторами и матрицами, различные их преобразования и техника решения систем линейных уравнений. Здесь описаны такие важные пакеты, как linalg стандартные средства линейной алгебры и LinearAlgebra. В последний пакет входят новые средства линейной алгебры повышенной эффективности на основе алгоритмов, заимстованных из знакомого математикам пакета программ NAG Numbering Algorithms Group.

Впервые описан новый пакет анализа линейных функциональных систем LinearFunctionalSystems, появившийся в версии Maple 7. Остальные пакеты, относящиеся к сравнительно узким областям математики и п-редставляющие ограниченный интерес для большинства читателей, рассмотрены обзорно или в виде аннотации в уроке К сожалению, материал по всем пакетам расширения Maple 7 настолько обширен, что его невозможно отразить в одной книге тем более в форме учебного курса.

Последний урок 17 описывает законченное решение ряда конкретных и интересных задач из области математики, физики и радиоэлектроники. Таким образом, читатель получает возможность познакомиться с широким спектром применения системы Maple 7 — от примеров простых расчетов и вычислений таких в книге тысячи до решения конкретных научных и технических проблем.

Материал книги иллюстрируется многими сотнями копий экрана как в виде отдельных рисунков, так и фрагментов вычислений и программных процедур в тексте книги. Они дают наглядное представление о реальном диалоге с системой и о форматах ввода и вывода. Большинство примеров в книге оригинальны и отражают взгляд автора на методологию изучения системы Maple.

В то же время в книге использованы и лучшие и наиболее поучительные примеры, которые приведены в обширной библиотеке процедур, составленных пользователями систем Maple разных реализаций со всего мира, и примеры из ряда учебников по системе — в том числе новейших электронных таких; как Power Toolsразмещенных в Интернете. Все заимствованные примеры также специально адаптированы применительно к новейшей версии системе Maple 7, описанной в книге.

Первое знакомство с системой Maple 1. Краткая характеристика систем класса Maple Первое знакомство с системой Maple 7 Краткая характеристика систем класса Maple Назначение и место систем Maple Maple — система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей.

До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, Ито указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

Однако по мере ее распространения она становится полезной для многих пользователей ПК, вынужденных в силу обстоятельств работа, учеба, хобби заниматься математическими вычислениями и всем, что с ними связано.

А все это простирается от решения учебных задач в вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств, и даже создания художественной графики например, фракталов.

Для наших читателей в том числе и для математиков-профессионалов возможности систем символьной математики, реализованных на массовых ПК класса IBM PC, порой являются полной неожиданностью и вызывают вполне заслуженное удивление и восхищение, но иногда и резкое отрицание.

Впрочем, последнее характерно скорее для тех, кто с системой Maple просто не работал и относится к ней, как дама из анекдота о паровозе — увидев паровоз впервые, она воскликнула: Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок.

Заслуженной популярностью системы Maple всех версий пользуются в университетах — свыше самых крупных университетов мира включая и наш МГУ взяли эту систему на вооружение. А число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило один миллион. Если учесть все это, то оказывается, что популярность системы Maple ничуть не ниже, а то и выше, чем у гораздо более простых систем, таких как Derive и Mathcad.

Вот и решайте, какая из систем и впрямь рассчитана на всех! Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе: Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы.

Во многих обзорах систем компьютерной алгебры Maple справедливо считается одним из первых кандидатов на роль лидера среди. Это лидерство она завоевывает в честной конкурентной борьбе с другой замечательной математической системой — Mathematica 4.

Каждая из данных двух систем имеет свои особенности, но в целом эти две лидирующие системы практически равноценны. Однако надо отметить, что появление новейшей версии Maple 7 означает очередной виток в соревновании этих систем за место лидера мирового рынка. Причем виток на этот раз раньше сделала система Maple 7. Система Maple прошла долгий путь развития и апробации. Все это самым положительным образом повлияло на ее отработку и надежность в смысле высокой вероятности правильности решений и отсутствия сбоев в работе.

А совсем недавно упрощенная версия Maple для операционной системы Windows СЕ стала использоваться в миниатюрных компьютерах фирмы Casio — Cassiopeia. Версии систем класса Maple. Версии систем класса Maple Известен ряд версий системы Maple, называемых реализациями.

Одной из самых известных реализаций является реализация Maple V R5. В ней появилась возможность работы с электронными таблицами, несколько улучшен интерфейс пользователя введены палитры для ввода математических символов и расширены возможности управления мышьюстала возможной запись файлов в формате HTML и введена возможность обмена объектами между документами методом перетаскивания Drag and Drop.

Основное достоинство предшествующей версии Maple 6 — это существенное ускорение вычислений с большими матрицами, достигнутое применением алгоритмов матричных вычислений известного пакета NAG Numbering Algorithms Group. Хотя данная книга посвящена новейшей реализации системы Maple 7, ее основной материал будет полезен и пользователя реализации Maple 6.

Новейшая версия систем Maple — Maple 7 появилась 21 июня г. Корпорация Waterloo Maple оценивает ее появление как новый виток в борьбе за мировое лидерство в области автоматизации математических вычислений — как численных, так и, в особенности, символьных. Являясь одними из лучших и надежных систем компьютерной математики, Maple 6 и Maple 7 становятся мировым стандартом в области математических вычислений.

Об ошибках в символьных вычислениях Об ошибках в символьных вычислениях На многих пользователей систем символьной математики удручающее впечатление может произвести наличие хотя и редких, но ошибочных решений. В самом деле, мы немедленно стерли бы с жесткого диска табличный процессор, давший ошибку в бухгалтерских расчетах, и перестали бы доверять системе проверки орфографии, дающей ошибки при проверке. Впрочем, последнее случается сплошь и рядом — пока нет таких систем, которые корректно проверяли бы орфографию и грамматику.

У систем компьютерной алгебры нет проблем с обработкой естественного языка — математика полностью формализованная наука. Однако в них много своих условностей и неоднозначностей, которые здесь как бы заранее запрограммированы. К примеру, что считать более простым выражением: А вот система Maple V ничуть не менее справедливо считает, что функции sin x и cos x математически более простые, чем tan. Представьте себе, что таких условностей десятки и вы ничего об этом не знаете.

Поэтому не стоит удивляться, что символьное значение какой-либо производной или интеграла может заметно отличаться по виду от приводимого в том справочнике, из которого взято исходное выражение для проверки правильности работы системы.

Часто, чтобы получить результат в необходимом виде, необходимо приложить определенные усилия либо дать конкретные указания системе о типе преобразований в ходе вычислений. Указания реализуются в виде параметров к командам и функциям системы. По образному выражению автора обзора [40], решение задач в символьном виде напоминает переход через поле, густо напичканное минами.

Стоит еще раз подчеркнуть, что Maple в этом отношении является одной из лучших систем, реализованных на ПК класса IBM PC и Macintosh с достаточно умеренными техническими характеристиками. Один знакомый автор любил говорить, что компьютеры делают умных людей умнее, а глупых — глупее. Пожалуй, это более чем справедливо для людей, сидящих у ПК с установленной на нем системой символьной математики.

бы под знаком кубического корня находилось аргумент же

Лишь те, кто понимают суть математических вычислений и имеют должную математическую интуицию и подготовку, могут получить от таких систем самые серьезные и даже новые результаты. Те же, кто думает, что системы символьной математики заменят им математические знания, глубоко ошибаются и могут получить красочно выглядящие, но абсолютно неверные и даже псевдонаучные результаты!

Однако вряд ли следует утрировать вероятность выдачи системами символьной математики ошибочных результатов — даже самые опытные математики-аналитики тоже могут ошибаться в своих вычислениях. В разработке таких систем, как Maple или Mathematica принимают участие крупные математические школы всего мира! Эти системы — кладезь математических понятий, сведений и знаний. Они способны заменить самые серьезные справочники по математическим вычислениям в любой области науки, техники и образования.

Кроме того, они имеют множество средств для проверки корректности выполняемых вычислений, например путем подстановки полученных результатов в исходные выражения. Кстати, одно из самых действенных приемов проверки таких средств — решение задачи одновременно на нескольких системах символьной математики. Трудно сказать, сколько слез пролито школьниками и их матерями по поводу неправильно сделанных математических преобразований на контрольных работах и экзаменах и сколько ребят восприняли математику как заклятого врага из-за первых неудач в ее изучении.

  • Самоучитель по Maple
  • Глава 9 Пьяный вандал
  • Самоучитель по Mathematica

Еще больший урон народному хозяйству то бишь рынку наносит неумение выпускников школ и вузов применять современные математические методы на практике, хотя именно это является конечной целью фундаментального математического образования.

Многие студенты запоминают математические истины от силы на несколько дней во время экзаменов. Как же найти выход из этого тупика? Одна из возможностей — применение достаточно универсальных СКМ, автоматизирующих большую часть математических вычислений.

Такие системы позволяют пользователю — как студенту, так и научному работнику — быстро вспомнить полученные в вузе знания и легко использовать их на практике без этапа нудных и трудоемких рутинных вычислений и преобразований.

А заодно и освоить новые для себя методы и разделы современной математики. К сожалению, за пределами возможностей численных математических систем оказались обширные области математики, связанные с проведением аналитических расчетов — от простых подстановок и сокращений до аналитической обработки математических выражений и функций и обучения компьютера новым математическим закономерностям и соотношениям. Всей этой работой, относящейся в основном к разделам элементарной и высшей алгебры, и были вынуждены заниматься математики-аналитики.

Увы, в нашей системе образования недостаточное знакомство с современными СКМ характерно не только для студентов, но и для доцентов и профессоров вузов.

бы под знаком кубического корня находилось аргумент же

Среди них хорошее владение СКМ скорее исключение, чем правило. Это серьезно препятствует решению ряда первостепенных проблем образования — повышению его фундаментальности и вхождению нашей образовательной системы в общемировую, где компьютерные системы символьной математики в последние годы нашли самое широкое применение. Очевидно, что чем раньше пользователь ПК начнет знакомиться с СКМ, тем больше математических знаний он получит.

Хотя, безусловно, желательно, чтобы такое использование шло под контролем опытного преподавателя. К сожалению, у нас есть серьезная причина, препятствующая широкому применению СКМ в образовании, — слабость материально-технической базы школ, вузов, да и многих университетов. Классами с современными ПК многие наши образовательные учреждения не обладают. Тем не менее, это чисто техническая проблема, которая постепенно решается. В новых стандартах образования роль СКМ наконец-то осознана всерьез.

По ряду специальностей математического профиля предусмотрено изучение СКМ. Это делает книги, подобные данной, нужными для системы образования. Разумны ли системы символьной математики? Математика непрерывно развивается, и ни один самый способный ученик не в состоянии и слава Богу! Даже многотомные справочники по математике не гарантируют полного описания всех ее возможностей.

Так что нет ничего страшного в том, что в наш просвещенный век вычисление производных или первообразных функций в аналитическом виде берет на себя компьютер. И их применение внешне становится таким же простым, как таблица умножения. Для многих, что в целом справедливо, вопрос о том, разумна ли система символьной математики, подобен вопросу о том, разумен ли хороший и полный справочник по математике. И все же применительно к современным системам символьной математики и универсальным СКМ такая аргументация, пожалуй, не вполне приемлема.

Да, базовые формулы и правила символьных преобразований в математические системы компьютерной алгебры заложены их создателями. Поэтому принципиально новых научных данных система сама по себе вроде бы и не дает. Но разве не такова в целом и ситуация с обычным использованием математического аппарата любым математиком-аналитиком?

Между тем большинству конкретных пользователей системы символьной математики дают новые знания в виде далеко не очевидных для них математических и иных закономерностей.

Результат сложных и многоэтапных рекуррентных символьных преобразований даже по известным правилам может быть действительно новым, то есть ранее не опубликованным, заранее не предсказуемым и далеко не очевидным.

Этим системы символьной математики принципиально отличаются от обычных справочников по тем или иным формулам. Они дают сведения не только по жесткому набору формул, но и по тем аналитическим соотношениям, которые в такой набор не вошли. Подобные результаты нередко могут подтолкнуть серьезного научного работника или педагога к открытию неизвестных закономерностей в исследуемых или изучаемых ими явлениях.

К тому же современные системы компьютерной алгебры способны к расширению — в них можно вводить новые закономерности и связи подчас самые смелые и безумныеа затем исследовать малоизвестные или вообще неизвестные результаты их действия, получаемые в результате сложных аналитических преобразований. Так что вполне допустимо считать такие системы в известной мере разумными и способными помочь пользователю в создании новых теоретических положений и даже научных теорий.

Немаловажный довод в пользу некоторой разумности современных систем символьной математики заключается в особом назначении примеров их применения, которых в справочной базе данных могут насчитываться тысячи. Здесь уместно упомянуть высказывание И. Обычные книги и справочники такой возможности принципиально не дают. Обучение на примерах — один из самых эффективных методических приемов.

Он широко используется в данной книге и составляет основу справочной базы данных систем Mathematica. В свое время нас учили, что количество переходит в качество. Примеров этого в природе превеликое множество. Системы компьютерной математики по обилию встроенных в них функций, правил преобразования и конкретных примеров применения уже вышли за пределы, которые способен оценить индивидуальный пользователь, даже если он достаточно опытный математик.

К примеру, ядро Mathematica 4 хранит данные о примерно 5 тысячах интегралов! Это говорит о том, что СКМ находятся уже на пороге того, что их количественные характеристики перерастут в качественные. Среди них может оказаться и разум СКМ — на сей раз без каких-либо оговорок. Что дает компьютерная математика университетам и школам В конечном счете, СКМ — не более чем удобный и мощный инструмент для учащегося, педагога, инженера или научного работника.

Самоучитель по Maple

Как его применять в методическом, научном и практическом отношениизависит уже от пользователя. Однако важно и ценно то, что системы символьной математики снимают у учащихся психологический барьер в реальном применении математики, особенно высшей. Тем не менее, многие преподаватели математики опасаются приобщения своих учеников к работе с СКМ.

Бывает, что некоторые преподаватели школ и вузов при подготовке массовых заданий по алгебре, тригонометрии и геометрии сами применяют СКМ — например, для подготовки заданий по курсам математики или физики. Но это становится еще одним наивным поводом ограждать учащихся от систем символьной математики и даже запрещать их в учебном процессе.

Оно и понятно — ведь школьник или студент, имеющий компьютер с системой компьютерной алгебры, прощелкает все подобные примеры за считанные минуты. Между тем учащихся, столь виртуозно владеющих системами компьютерной математики, надо лишь всячески поощрять! Увы, пока их очень мало Надо учитывать, что эффективное применение систем компьютерной алгебры практически невозможно без четкого понимания основ элементарной и высшей математики.

Невозможно оно и без творческого участия пользователя как в постановке решения задач, так и в контроле и отборе результатов их решения. В большинстве математических систем используются специальные опции и директивы, направляющие решение в нужное русло. В какое именно — должен определить пользователь, владеющий нужными для этого математическими понятиями.

Кроме того, именно пользователю необходимо проверить полученные результаты и убедиться в их достоверности.

Среди части преподавателей вузов существует в корне неверное мнение о том, что не нужно изучать сами СКМ — достаточно использовать доморощенные обучающие программы. Среди таких программ и впрямь есть интересные разработки, но, как правило, они базируются на ядре той или иной символьной СКМ, причем нередко старых версий, применяемых с целью обойти лицензионные ограничения. По большому счету, такие обучающие системы ничего нового в процесс математических вычислений не вносят.

Современные универсальные СКМ намного мощнее подобных программ, имеют более совершенный и более удобный интерфейс пользователя, а главное — только они реально применяются на месте работы будущих специалистов.

Наиболее удобной формой для этого являются спецкурсы, хотя и в ряде обязательных курсов такое изучение предусмотрено новыми учебными программами Министерства образования РФ. В наших экономических условиях особенно велика роль систем компьютерной математики как мощных электронных справочников.

Число издаваемых обычным способом справочников по математике или физике не говоря уже о инженерных дисциплинах в последние годы катастрофически упало. Это повышает роль справочников электронных, тем более что справочные базы данных современных систем компьютерной математики обладают рядом очевидных достоинств: Современные СКМ следует рассматривать не только как электронные справочники нового поколения, но и как системы для самообучения и дистанционного обучения математике.

Однако для этого они должны быть снабжены грамотно составленными прежде всего в методическом отношении электронными уроками или книгами. Здесь необъятный простор для творчески мыслящих педагогов! В то же время, при отсутствии таких уроков применение математических систем может иметь негативные последствия для образования — опасна подмена обучения основам математики обучением основам работы с математическими системами.

Многие виды вычислений, даже элементарных, довольно трудоемки. Например, построение трехмерной поверхности требует зачастую сотен однообразных вычислений, выполнять которые крайне муторно даже при применении калькуляторов. Современные СКМ в том числе Mathematica делают это за считанные секунды, а то и за доли секунды.

бы под знаком кубического корня находилось аргумент же

К тому же они сразу же строят графики поверхностей с разнообразной функциональной окраской и позволяют интерактивно вращать их Mathematica 4добиваясь лучшей выразительности и лучшего обзора фигур. Применение СКМ в образовании избавляет учащихся от массы рутинных вычислений и высвобождает их время для обдумывания алгоритмов решения задач, более обоснованной постановки их решения, многовариантного подхода и представления результатов в наиболее наглядной форме.

Высвободившееся время можно использовать для более глубокого изучения математической или физической сущности решаемых задач и их решения различными методами. Таким образом, СКМ не только не лишают учащихся серьезных математических навыков, но, напротив, способны их расширить и углубить.

Так что, работая с ними, пользователь поневоле осваивает работу с компьютером и познаёт тонкости интерфейса современных программ. Кроме того, современные СКМ позволяют готовить и распечатывать документы, затрачивая на это куда меньше времени, чем популярные у математиков системы ТеХ или LaTeX.

Впрочем, Mathematica прекрасно сожительствует с ними и позволяет представлять данные в необходимом для этих систем формате.

Mathematica 4 поддерживает новейший формат подготовки математических документов для Интернета — MathML. Работать с современными СКМ просто, приятно и поучительно. Благодаря этому освоение систем Mathematica воспринимается учащимися с большим интересом, что служит побудительным мотивом к их внедрению в систему образования, причем не только высшего, но и среднего, и даже начального последнему, как отмечалось, фирма Wolfram в последние годы уделяет большое внимание.

Диалог с системой и ее входной язык Интересно отметить, что, родившись как программа для профессионалов, Mathematica в последние годы упорно позиционируется фирмой Wolfram как система, перспективная не только для высшего, но и для школьного образования.

Не считая отдельных мелочей, такой диалог вполне понятен не только опытному математику, но и успевающему студенту и даже школьнику. Впрочем, уже из приведенных простейших примеров видны определенные тонкости записи входных выражений, которые определяются совокупностью правил их ввода, то есть синтаксисом входного языка системы, или более строго языка программирования системы.